Question

【题目】如图，在中，，，点D是AC的中点，直角的两边分别交AB、BC于点E、F，给出以下结论：①；②；③；④；⑤是等腰直角三角形. 当在内绕顶点D旋转时(点E不与点A、B重合)，上述结论始终成立的有____________个.

Answer 1

【答案】4

【解析】

由ED垂直于FD，BD垂直于AC，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ABC为等腰直角三角形得到BD=CD，且∠EBD=∠C=45°，利用ASA得到三角形BED与三角形CFD全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等即可做出判断．

∵ED⊥FD，BD⊥AC，

∴∠BDE+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDC=90°，

∴∠BDE=∠FDC，

∵B、E、D、F四点共圆，

∴∠BFE=∠BDE，

∴∠BFE=∠CDF，选项④正确；

∵△ABC为等腰直角三角形，BD⊥AC，

∴∠EBD=∠C=45°，BD=CD，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（ASA），

∴BE=CF，

∴AE=BF，选项①正确；

DE=DF，

∴△DEF为等腰直角三角形，选项⑤正确；

∴S四边形BEDF=S△BED+S△BDF=S△CFD+S△BDF=S△BDC=S△ABC，选项②正确．

∵BD是定值，EF随DF的变化而变化，只有当DF⊥BC时，EF=BD，

∴③不正确，

∴上述结论中始终成立的有4个．

故答案为：4．