Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF．

（1）求证：DE⊥DM；

（2）猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）四边形CENF是平行四边形，理由见解析.

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DC=DA，∠DCE=∠DAM=90°，

在△DCE和△MDA中，，

∴△DCE≌△MDA（SAS），

∴DE=DM，∠EDC=∠MDA．

又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠MDA=90°，

∴DE⊥DM；

（2）解：四边形CENF是平行四边形，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵BF=AM，

∴MF=AF+AM=AF+BF=AB，

即MF=CD，

又∵F在AB上，点M在BA的延长线上，

∴MF∥CD，

∴四边形CFMD是平行四边形，

∴DM=CF，DM∥CF，

∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM，

∴四边形DENM都是矩形，

∴EN=DM，EN∥DM，

∴CF=EN，CF∥EN，

∴四边形CENF为平行四边形．