Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图甲的位置时，试说明：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，试说明：DE=AD－BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图丙的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（）证明见解析；（3）AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE－AD(或AD=BE－DE，BE=AD＋DE等)理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由∠ACB=90°，得∠BCE＋∠ACD=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE.，易得

Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB,得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD．证明的方法与（2）相同．

试题解析：(1)①∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE.

在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB(AAS)．

②∵△ADC≌△CEB，

∴CE=AD，CD=BE，

∴DE=CE＋CD=AD＋BE；

(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE.又∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB(AAS)，

∴CD=BE.AD=CE，

∴DE=CE－CD=AD－BE；

(3)当MN旋转到图丙的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE－AD(或AD=BE－DE，BE=AD＋DE等)．

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE.

∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CD－CE=BE－AD.