Question

【题目】如图，抛物线y=﹣++2与x轴相交于A，B两点，（点A在B点左侧）与y轴交于点C．

（1）求A，B两点坐标．

（2）连结AC，若点P在第一象限的抛物线上，P的横坐标为t，四边形ABPC的面积为S．试用含t的式子表示S，并求t为何值时，S最大．

（3）在（2）的基础上，在整条抛物线上和对称轴上是否分别存在点G和点H，使以A，G，H，P四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出G，H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣，0），B（2，0）；（2）当t=时，S最大=4；（3）满足条件的点P的坐标为G（﹣，﹣），H（，﹣）或G（，﹣），H（，﹣）或G（﹣，），H（，）．

【解析】

（1）令y=0，则解得或，即可求出A，B两点坐标．

（2）点P作PQ⊥x轴于Q，P的横坐标为t，设P（t，p），则， 根据S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB列出S与t的函数关系式，根据二次函数的性质t为何值时，S最大．

（3）抛物线的对称轴为：分别画出示意图，根据平行四边形的性质即可求出G，H的坐标.

解：（1）针对于抛物线，

令y=0，则

解得或

∴

（2）针对于抛物线

令x=0，

∴y=2，

∴C（0，2），

如图1，点P作PQ⊥x轴于Q，

∵P的横坐标为t，

∴设P（t，p），

∴，

∴S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB

，

∴当时，S最大

（3）满足条件的点的坐标为G（﹣，﹣），H（，﹣）或G（，﹣），H（，﹣）或G（﹣，），H（，）．