Question

【题目】已知：关于x的方程，

（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为5．

【解析】

（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；

（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．

（1）∵判别式△=[-(k+2)]-4×2k=k-4k+4=(k-2)≥0，

∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．

（2）当a=1为底边时，则b=c，

∴△=(k-2)=0，

解得：k=2，

∴方程为x2-4x+4=0，

解得：x1=x2=2，即b=c=2，

∵1、2、2可以构成三角形，

∴△ABC的周长为：1+2+2=5．

当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，

∴1-（k+2）+2k=0，

解得：k=1，

∴方程为x2-3x+2=0，

解得：x1=1，x2=2，

∵1+1=2，

∴1、1、2不能构成三角形，

综上所述：△ABC的周长为5．