Question

【题目】如图,H是△ABC的高AD,BE的交点,且DH=DC,则下列结论:①BD=AD;②BC=AC;③BH=AC;④CE=CD中,正确的有( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC
∴∠AEH=∠ADB=90°
∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE
∴∠HBD=∠EAH
又∵DH=DC
∴△BDH≌△ADC（AAS）
∴BD=AD，BH=AC ；从而得出①③符合题意；
②：∵BC=AC
∴∠BAC=∠ABC
∵由①知，在Rt△ABD中，BD=AD
∴∠ABC=45°
∴∠BAC=45°
∴∠ACB=90°
∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°
②不符合题意；
解④：∵CE=CD ，∠ACB=∠ACB，∠ADC=∠BEC=90°，
∴△BEC≌△ADC
由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC
④不符合题意；
故应选：B．
根据垂直的定义得出∠AEH=∠ADB=90°，根据等顶角相等及等角的余角相等得出∠HBD=∠EAH，又DH=DC，从而利用AAS判断出△BDH≌△ADC，根据全等三角形对应边相等得出BD=AD，BH=AC ；根据等边对等角得出∠BAC=∠ABC，由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=45°，根据等量代换得出∠BAC=45°，根据三角形的内角和得出∠ACB=90°，又∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°，从而得出②不符合题意；由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC，而要得出CE=CD，必须△BEC≌△ADC，故④不符合题意。