Question

【题目】已知△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，D是BA边上一点（点D不与A，B重合），M是CA中点，当以CD为直径的⊙O与BA边交于点N，⊙O与射线NM交于点E，连接CE，DE．
（1）求证：BN=AN；
（2）猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CD为⊙O的直径，

∴∠CND=90°，

∴CN⊥AB，

∵BC=AC，

∴BN=AN；

（2）解：CD= DE，

理由如下：∵△ABC中，∠BCA=90°，BN=AN，

∴CN=AN，

∵点M是CA中点，

∴NM平分∠CNA，

∵∠CNA=90°，

∴∠CNM=45°，

∴∠CDE=∠CNE=45°，

∵CD为⊙O的直径，

∴∠CED=90°，

∴∠DCE=45°=∠CDE，

∴DE=CE，

∵CE2+DE2=CD2，

∴CD= DE

【解析】（1）根据圆周角定理求出∠CND=90°，根据等腰三角形的性质得出即可；（2）根据直角三角形斜边上中线性质求出CN=AN，根据等腰三角形性质求出∠CNM=45°，根据圆周角定理求出∠CED=90°，∠CDE=∠CNE=45°，根据勾股定理求出即可．
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半才能正确解答此题．