Question

【题目】如图，点P在正方形ABCD边AD上，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE＝∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．若PQ2＝PB2+PD2+2，则△PAB的面积为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先由∠QBE＝∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB与△QCB均为直角三角形，再证得△PAB≌△QCB，可知QC＝PA，设正方形的边长AB＝a，PA＝x，利用方程思想和勾股定理，等量代换易得ax，可得结果.

∵∠QBE＝∠PBC，∠QBE+∠QBC＝90°

∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝90°

∵∠PBC+∠PBA＝90°

∴∠PBA＝∠QBC

∴在△PAB和△QCB中

，

∴△PAB≌△QCB（ASA）

∴PB＝QB

设正方形ABCD的边长AB＝a，PA＝x

∵△PAB≌△QCB

∴QC＝PA＝x

∴DQ＝DC+QC＝a+x，PD＝AD﹣PA＝a﹣x

在Rt△PAB中，

PB2＝PA2+AB2＝x2+a2

∵PQ2＝PB2+PD2+2

∴（a﹣x）2+（a+x）2＝x2+a2+（a﹣x）2+2

化简得：2ax＝2

∴ax＝1

∴△PAB的面积

S＝PAAB＝ax＝

故答案为：．