Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.

(1)若FD＝2FB，求的值；

(2)若AC＝2，BC＝，求S△FDC的值．

Answer 1

【答案】（1）； （2）4.

【解析】试题分析：

（1）由已知中∠ACB=90°，CD⊥AB，点E为AC中点，易证∠A=∠BCD，DE=AE，由此可得∠BCD=∠A=∠ADE=∠BDF，再结合∠F=∠F可证△BDF∽△DCF，就可得；

（2）由已知易证△BDC∽△BCA，AB=，由此可得BD∶CD＝BC∶AC＝，，这样由S△ABC=ACBC＝可得S△BDC=3；

再由△BDF∽△DCF可得，∴，∴S△FDC＝4.

试题解析：

解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC=90°，

∴∠A＝∠DCB.

∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，

∴ED＝EA，

∴∠A＝∠EDA.

∵∠BDF＝∠EDA，

∴∠DCB＝∠BDF.

又∵∠F＝∠F，

∴△BDF∽△DCF，

∴.

(2)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠BDC＝∠ACB=90°.

∵∠ABC＝∠CBD，

∴△BDC∽△BCA，

∴BD∶CD＝BC∶AC＝.

∵在Rt△BAC中，由勾股定理可得AB＝，

∴.

又∵S△ABC=ACBC＝，

∴S△BDC=.

∵△BDF∽△DCF，

∴，

∴.

∴S△DCF＝4.