Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D．

（1）求证：△ADC∽△CDB；

（2）若AC=2，AB=CD，求⊙O半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析: （1）首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90°；然后根据AB是圆O的直径，可得：∠ACB=90°，据此判断出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．

（2）首先设CD为x，则AB=32x，OC=OB=34x，用x表示出OD、BD；然后根据△ADC∽△CDB，可得：ACCB=CDBD，据此求出CB的值是多少，即可求出⊙O半径是多少．

详解:

（1）证明：如图，连接CO，

，

∵CD与⊙O相切于点C，

∴∠OCD=90°，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO=∠BCD，

∵∠ACO=∠CAD，

∴∠CAD=∠BCD，

在△ADC和△CDB中，

∴△ADC∽△CDB．

（2）解：设CD为x，

则AB=x，OC=OB=x，

∵∠OCD=90°，

∴OD===x，

∴BD=OD﹣OB=x﹣x=x，

由（1）知，△ADC∽△CDB，

∴=，

即，

解得CB=1，

∴AB==，

∴⊙O半径是．

点睛: 此题主要考查了切线的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．