Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD与BC相交于点M，且BM=MC，过点D作BC的平行线，分别与AB、AC的延长线相交于点E、F；

（1）求证：EF与⊙O相切；

（2）若BC=2，MD=，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）根据垂径定理证得AD⊥BC，然后根据平行线的性质证得AD⊥EF，即可证得结论；

（2）连接OB，根据勾股定理求得OB和OM，由BC∥EF，证得△ABC∽△AEF，根据相似三角形的性质求得EF的长，解直角三角形ACM求得∠CAM=30°，进而求得CN的长和∠FCN=∠CAM=30°，解直角三角形求得NF，得出EN，然后根据勾股定理即可求得．

试题解析：（1）∵AD是⊙O的直径，AD与BC相交于点M，且BM=MC，

∴AD⊥BC，

∵EF∥BC，

∴AD⊥EF，

∴EF与⊙O相切；

（2）连接OB，

在△OBM中，BM2+OM2=OB，即（）+（OB﹣）=OB2，OB=2

∴OM=MD=，

∵BC∥EF，

∴△ABC∽△AEF

∴，

∴EF=，

∵tan∠CAM=，

∴∠CAM=30°，

作CN⊥EF，

∵AD⊥EF，

∴CN∥AD，

∴∠FCN=∠CAM=30°，

∵BC∥EF，

∴四边形MDNC是矩形，

∴CN=MD=，

∴NF=CNtan30°=×=，

∴EN=EF﹣NF=﹣=，

∴EC==．