Question

【题目】在△ABC中，∠A=40°：
（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（4）根据上述三问的结果，当∠A=n°时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，

∴2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴2∠BOC=360°﹣（∠ABC+∠ACB），

∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，

∴2∠BOC=180°+∠A，

∴∠BOC=90°+ ∠A．

当∠A=40°，∠BOC=110°；

（2）解：∠OBC= （∠A+∠ACB），∠OCB= （∠A+∠ABC），

∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，

=180°﹣ （∠A+∠ACB）﹣ （∠A+∠ABC），

=180°﹣ ∠A﹣ （∠A+∠ABC+∠ACB），

结论∠BOC=90°﹣ ∠A．∠BOC=90°﹣ ∠A．

当∠A=40°，∠BOC=70°．

（3）解：∵∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，

∴∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，

∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，

∴2∠BOC=∠A，

即∠BOC= ∠A．

当∠A=40°，∠BOC=20°

（4）解：∠BOC=90°+ n；∠BOC=90°﹣ n；∠BOC= n
【解析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，则2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°﹣∠ABC﹣∠ACB，易得∠BOC=90°+ ∠A．（2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到∠BOC=90°﹣ ∠A；（3）根据角平分线的定义得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性质有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC= ∠A；（4）利用以上结论直接得出答案即可．
【考点精析】利用三角形的内角和外角和三角形的外角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．