Question

【题目】如图，已知直线的函数表达式为，它与轴、轴的交点分别为A、B两点.

（1）求点A、B的坐标；

（2）设F是轴上一动点，⊙P经过点B且与轴相切于点F，设⊙P的圆心坐标为P(x,y)，求y与之间的函数关系；

（3）是否存在这样的⊙P，既与轴相切，又与直线相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0），B（0，3）； （2）y=x2+； （3）存在．点的坐标为（1， ）或（﹣9，15）.

【解析】试题分析:(1)根据坐标轴上点的坐标特征易得以A点坐标为(﹣4,0), B点坐标为(0,3),

(2)过点P作PD⊥y轴于D,则PD=,BD=,根据切线的性质得PF=y,则PB=y,

在Rt△BDP中,根据勾股定理得到y2=x2+(3﹣y)2 ,然后整理可得到:y=x2+,

(3)因为⊙P与轴相切于点F,且与直线相切于点B,根据切线长定理得到:AB=AF,而AB=5,所以AF=再把分别代入y=x2+计算出对应的函数值,即可确定P点坐标.

试题解析:（1）A点坐标为(﹣4,0),B点坐标为(0,3),

（2）过点P作PD⊥y轴于D,如图1,

则PD=|x|,BD=|3﹣y|,

∵⊙P经过点B且与x轴相切于点F,

∴PB=PF=y,

在Rt△BDP中,

∴PB2=PD2+BD2,

∴y2=x2+(3﹣y)2,

∴y=x2+,

（3）存在.

如图2,∵⊙P与x轴相切于点F,且与直线l相切于点B,

∴AB=AF,

∵AB2=OA2+OB2=52,

∴AF=5,

∵AF=|x+4|,

∴|x+4|=5,

∴x=1或x=﹣9,

当x=1时,y=,

当x=﹣9时,y==15,

∴点的坐标为(1, )或(﹣9,15).