Question

【题目】如图，∠OAB=45°，点A的坐标是（4，0），AB= ，连结OB．

（1）直接写出点B的坐标．
（2）动点P从点O出发，沿折线O﹣B﹣A方向向终点A匀速运动，另一动点Q从点O出发，沿OA方向匀速运动，若点P的运动速度为 个单位/秒，点Q的运动速度是1个单位/秒，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒，请求出使△OPQ的面积等于1.5时t的值．
（3）动点P仍按（2）中的方向和速度运动，但Q点从A点向O点运动，速度为1个单位/秒，P、Q与△OAB中的任意一个顶点形成直角三角形时，求此时t（t≠0）的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过B作BC⊥OA于C，

∵∠OAB=45°，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∵AB=2 ，

∴BC=AC=2，

∵A（4，0），

∴OA=4，

∴OC=OA﹣AC=4﹣2=2，

∴B（2，2）

（2）

解：过P作PD⊥OA于D，

如图1，

由（1）得：OC=BC=2，∠BCO=90°，

∴∠AOB=45°，

如图2，

由题意得：OP= t，OQ=t，

∵△POD是等腰直角三角形，

∴PD= =t，

∵S△OPQ=1.5，

∴ OQPD=1.5，

t2=1.5，

t= ，

答：当t= 时，△OPQ的面积等于1.5

（3）

解：分四种情况：

①当0＜t≤2时，∠OPQ=90°，如图3，

由题意得：OP= t，AQ=t，OQ=4﹣t，

则cos45°= ，

= ，

解得：t= ；

②当0＜t≤2时，∠OQP=90°，如图4，

由题意得：OP= t，AQ=t，OQ=4﹣t，

则cos45°= ，

= ，

解得：t=2；

③当2＜t＜4时，AQ=t，AP=4 ﹣ t，

当∠APQ=90°时，如图5，

cos45°= ，

= ，

解得：t= ；

④如图6，点Q与O重合，点P与A重合，

∠PBQ=90°，此时t=4；

综上所述，P、Q与△OAB中的任意一个顶点形成直角三角形时，t的值为 或2或 或4．

【解析】（1）如图1，过B作BC⊥OA于C，根据∠OAB=45°，可知△ACB为等腰直角三角形，求出BC和AC的长为2，再由点A的坐标得出OA=4，所以得出B（2，2）；（2）如图2，作△OPQ的高线PD，根据速度和时间表示动点的路程：OP= t，OQ=t，根据图1求出∠AOB=45°，所以△POD是等腰直角三角形，表示出高线PD的长，代入面积公式列等量关系式可求得结论；（3）分四种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，∠OPQ=90°，如图3，②当0＜t≤2时，∠OQP=90°，如图4，③当2＜t＜4时，∠APQ=90°，如图5，④点Q与O重合，点P与A重合，如图6；分别根据45°的余弦列式求出．
【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°即可以解答此题．