Question

【题目】实验与探究

(1)在图①，图②，图③中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标，写出图①，图②，图③中的顶点C的坐标，它们分别是________，___________，____________；

(2)在图④中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标(如图所示)，求出顶点C的坐标(C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示)；

归纳与发现

(3)通过对图①，图②，图③，图④的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点C坐标为(m，n)(如图④)时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为___________，纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为__________．(不必证明)

Answer 1

【答案】(1) (5，2)，(e＋c，d)，(c＋e－a，d) ；(2) C(e＋c－a，f＋d－b) ；(3) m＋a＝c＋e，n＋b＝d＋f

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图2，3中顶点C的坐标分别是（e+c，d），（c+e﹣a，d）；

（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD=BA，根据内角和定理，利用BB1∥CC1，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依题意得出AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．设C（x，y）．由e﹣x=a﹣c，得x=e+c﹣a．由y﹣f=d﹣b，得y=f+d﹣b．继而推出点C的坐标．

（3）在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理证明△BEA≌△CFD（同（2）证明）．然后推出AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．又已知C点的坐标为（m，n），e﹣m=a﹣c，故m=e+c﹣a．由n﹣f=d﹣b，得出n=f+d﹣b．

试题解析：解：（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图1、图2，3中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．

故答案为：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．

（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．

在平行四边形ABCD中，CD=BA，又∵BB1∥CC1，∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度，∴∠EBA=∠FCD．

在△BEA和△CFD中，∵∠AEB=∠DFC，∠EFA=∠FCD，AB=DC，∴△BEA≌△CFD（AAS），∴AE=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．

设C（x，y）．由e﹣x=a﹣c，得：x=e+c﹣a．

由y﹣f=d﹣b，得：y=f+d﹣b，∴C（e+c﹣a，f+d﹣b）．

（3）在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理可得△BEA≌△CFD，则AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b，∵C点的坐标为（m，n），e﹣m=a﹣c，∴m=e+c﹣a．由n﹣f=d﹣b，得：n=f+d﹣b，故答案为：m=c+e﹣a，n=d+f﹣b或m+a=c+e，n+b=d+f．