Question

【题目】如图①已知正方形ABCD的边BC、CD上分别有E、F两点，且∠EAF=45°，现将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABH处.

（1）线段EF、BE、DF有何数量关系？并说明理由；

模仿（1）中的方法解决（2）、（3）两个问题：

（2）如图②，若将E、F移至BD上，其余条件不变，且BE=，DF=3，求EF的长；

（3）如图③，图形变成矩形ABCD，∠EAF=45°，BE=3，AB=6，AD=10，求DF和EF的长.

Answer 1

【答案】(1) EF=BE+DF；(2) ；(3) ，.

【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得：△ADF≌△ABH，从而可由SAS证△HAE≌△FAE，得到EF=HE，从而得到结论；

（2）把△ABE绕点A旋转90°到△ADG，连接GF．同（1）可得：△AGD≌△AEB，△AEF≌△AGF，得到BE=GD，∠GDA=∠EBA=45°，EF=GF，由∠FDA=45°，得到∠FDG=90°．在Rt△GDF中，由勾股定理即可得到结论；

（3）把△ADF绕A旋转90°到△AQH，连接EH，过E作EP⊥HQ 于P．同理得△ADF≌△AQH，△HAE≌△FAE，EF=HE．设DF=x．在Rt△HPE与Rt△ECF中，由勾股定理即可得出结论．

试题解析：解：（1）EF=BE+DF．理由如下：

由旋转的性质得：△ADF≌△ABH，∴AH=AF，DF=HB，∠HAB=∠DAF．∵∠DAF+∠FAB=90°，∴∠FAH=90°．∵∠EAF=45°，∴∠EAH=45°，∴∠EAF=∠EAH．在△EAF和△EAH中，∵AF=AH，∠EAF=∠HAE，AE=AE，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴EF=HE．∵HE=HB+BE=DF+BE，∴EF=BE+DF；

（2）把△ABE绕点A旋转90°到△ADG，连接GF．同（1）可得：△AGD≌△AEB，△AEF≌△AGF，∴BE=GD，∠GDA=∠EBA=45°，EF=GF．∵∠FDA=45°，∴∠FDG=90°，∴EF=FG====；

（3）把△ADF绕A旋转90°到△AQH，连接EH，过E作EP⊥HQ 于P．

同理得△ADF≌△AQH，△HAE≌△FAE（SAS），∴EF=HE．

设DF=x．在Rt△HPE与Rt△ECF中，由勾股定理得：

，

∴ ；

解得： ，∴DF=，EF=．