Question

【题目】如图所示，直线y=+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是线段AB的中点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，P，O(原点).

(1)求抛物线的表达式；

(2)在x轴上方的抛物线上是否存在一点Q，使∠QAO=45°?如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-x；（2）存在，Q点的坐标为.

【解析】（1）根据直线AB的解析式，可求得B点坐标，而P为线段AB的中点，那么点P的纵坐标为B点纵坐标的一半，由于抛物线经过原点，那么c=0，根据公式法表示出P点纵坐标，即可求得b的值，由此确定该抛物线的解析式．（2）此题应分两种情况讨论：①当Q点在x轴上方时，由于∠OAQ=45°，那么直线AQ的斜率为k=1，而A点坐标易求得，即可得到直线AQ的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得Q点坐标；
②当Q点在x轴下方时，方法同①．

(1)直线y=+3与x轴、y轴分别交于点A，B，且P为线段AB的中点，抛物线y=-x2+bx+c过A，P，O三点，

∴OB=3，c=0，P必为抛物线的顶点，

∴=，∴b=±.

又∵x=-=<0，∴b<0，∴b=-.

∴抛物线的表达式为y=-x2-x.

(2)存在.

∵抛物线y=-x2-x经过点A，

∴A点的坐标为(-4，0).

设Q点的坐标为(x，y)，∵∠QAO=45°，

∴x=-4+y.

将其代入抛物线的关系式中得y=-(-4+y)2-(-4+y)，解得y1=0(舍去)，y2=.

当y=时，x=-.

∴Q点的坐标为.