Question

【题目】如图，在△ABC和△DEC中，∠ABC=∠DEC=90°，连接AD交射线EB于F，AC∥DE，延长CA交射线EB于点G，点F恰好是AD中点。

（1）求证：△AFG≌△DFE；

（2）若BC=CE，

①求证：∠ABF=∠DEF；

②若∠BAC=30°，试求∠AFG的度数。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析②∠AFG=60°。

【解析】试题分析：

（1）由AG∥DE易得：∠G=∠DEF；由F是AD的中点易得AF=DF，结合∠AFG=∠DFE，即可证得：△AGF≌△DEF；

（2）①由BC=CE可得∠CBE=∠CEB，结合∠ABC=DEC=90°，易得∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，从而可得∠ABF=∠DEF；

②由△AGF≌△DEF可得∠G=∠DEF，AG=DE结合∠ABF=∠DEF，可得：∠ABF=∠G，从而可得：AG=AB，这样即可得到：AB=DE，结合∠ABC=∠DEC=90°，BC=CE即可证得：△ABC≌△DEC，由此可得AC=CD，∠EDC=∠BAC=30°，结合AC∥DE可得∠ACD=∠EDC=30°，从而可得∠CAD=；由∠BAC=∠G+∠ABG=30°结合∠G=∠ABG易得∠G=15°，结合∠CAD=∠G+∠AFG即可得到∠AFG=60°.

试题解析：

（1）∵AG∥DE，点F是AD的中点，

∴∠G=∠DEF，AF=DF，

∵△AGF和△DEF中，

，

∴△AGF≌△DEF（AAS）；

（2）① ∵BC=CE，

∴∠CBE=∠CEB，

∵∠ABC=DEC=90°，

∵∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，

∴∠ABF=∠DEF；

②∵△AGF≌△DEF，

∴∠G=∠DEF，

∵∠ABF=∠DEF，

∴∠ABF=∠G，

∴AG=AB，

∵△AGF≌△DEF，

∴AG=DE，

∴DE=AB，

∵△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC，（SAS）

∴AC=CD，∠BAC=∠EDC，

∵AC∥DE，

∴∠EDC=∠ACD，

∴∠ACD=∠BAC=30°，

∴∠CAD=75°，

∵∠ABF=∠G，∠BAC=30°，

∴∠G=15°，

∵∠CAD=∠G+∠AFG，

∴∠AFG=60°.