Question

【题目】如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB=4，则BE的最小值为_____．

Answer 1

【答案】2 +2

【解析】如图所示，

将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC,作直线FE交OM于H,则∠BCF=90°，BC=FC，

∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，

∴∠PCE=90°，PC=EC，

∴∠BCP=∠FCE，

在△BCP和△FCE中，

BC=FC，∠BCP=∠FCE，PC=EC，

∴△BCP≌△FCE(SAS)，

∴∠CBP=∠CFE，

又∵∠BCF=90°，

∴∠BHF=90°，

∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH，

∵BH⊥EF，

∴当点E与点H重合时，BE=BH最短，

∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，∠CBP=30°，

∴CP=BC=2，BP=CP=2，

又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE，

∴正方形CPHE中，PH=CP=2，

∴BH=BH+PH=2+2，

即BE的最小值为2+2，

故答案为：2+2.