Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（4，0），（2，0），现以B为圆心，1为半径在第一象限内画半圆，M，N是此半圆的三等分点，点P在 上，射线AP交y轴于点Q，当点P从点M运动到点N时，点Q相应移动的路径长为（ ）

A.

B.

C.2﹣
D.2 ﹣2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如图延长AN交y轴于Q1 ， 延长AM交y轴于Q2 ， 作NE⊥OA于E，
∵M、N是半圆的三等分点，
∴∠NBO=∠MBN=∠MBA=60°，
在RT△BNE中，∵BN=1，∠NBE=60°，
∴∠BNE=30°，EB= BN= ，NE= EB= ，
∵NE∥OQ1 ，
∴ ，
∴ ，
∴OQ1= ，
∵BM=BG，∠MBG=60°，
∴△MBG是等边三角形，
∴MG=BM=AG，
∴∠AMB=90°，∠MAB=30°，
在RT△AOQ2中，∵AO=4，∠OAQ2=30°，
∴OQ2= OA= ，
∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1= ．
故选B．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用圆心角、弧、弦的关系和切线的性质定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．