Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，
∵DC∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，
∴PD=EQ，
∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，
∴△DPE≌△EQF，
∴DE=EF，
易证明△DEC≌△BEC，
∴DE=BE，
∴EF=BE，
∵EQ⊥FB，
∴FQ=BQ= BF，
∵AB=4，F是AB的中点，
∴BF=2，
∴FQ=BQ=PE=1，
∴CE= ，
Rt△DAF中，DF= =2 ，
∵DE=EF，DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=EF= = ，
∴PD= =3，
如图2，∵DC∥AB，

∴△DGC∽△FGA，
∴ = =2，
∴CG=2AG，DG=2FG，
∴FG= × = ，
∵AC= =4 ，
∴CG= × = ，
∴EG= ﹣ = ，
连接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE=45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
∴GH=FH= = ，
∴EH=EF﹣FH= ﹣ = ，
由折叠得：GM⊥EF，MH=GH= ，
∴∠EHM=∠DEF=90°，
∴DE∥HM，
∴△DEN∽△MNH，
∴ ，
∴ = =3，
∴EN=3NH，
∵EN+NH═EH= ，
∴EN= ，
∴NH=EH﹣EN= ﹣ = ，
Rt△GNH中，GN= = = ，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM= + + = ；
故答案为： ．
如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等证明FQ=BQ=PE=1，△DEF是等腰直角三角形，利用勾理计算DE=EF= ，PD= =3，如图2，由平行相似证明△DGC∽△FGA，列比例式可得FG和CG的长，从而得EG的长，根据△GHF是等腰直角三角形，得GH和FH的长，利用DE∥GM证明△DEN∽△MNH，则 ，得EN= ，从而计算出△EMN各边的长，相加可得周长．