Question

【题目】已知二次函数y=x2﹣2mx+4m﹣8

（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（2）以抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）若抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：二次函数y=x2﹣2mx+4m﹣8的对称轴是：x=m．

∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，

而x≤2应在对称轴的左边，

∴m≥2．

（2）解：如图：

顶点A的坐标为（m，﹣m2+4m﹣8）

△AMN是抛物线的内接正三角形，

MN交对称轴于点B，tan∠AMB=tan60°= = ，

则AB= BM= BN，

设BM=BN=a，则AB= a，

∴点M的坐标为（m+a， a﹣m2+4m﹣8），

∵点M在抛物线上，

∴ a﹣m2+4m﹣8=（m+a）2﹣2m（m+a）+4m﹣8，

整理得：a2﹣ a=0

得：a= （a=0舍去）

所以△AMN是边长为2 的正三角形，

S△AMN= ×2 ×3=3 ，与m无关；

（3）解：当y=0时，x2﹣2mx+4m﹣8=0，

解得：x=m± =m± ，

∵抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数，

∴（m﹣2）2+4应是完全平方数，

∴m的最小值为：m=2．

【解析】（1）首先依据二次函数的对称轴公式求得抛物线的对称轴为x=m，由于a＞0可得到抛物线的开口向上，故此在对称轴的左边y随x的增大而减小，从而可得到关于m的不等式；
（2）在抛物线内作出正三角形，顶点A的坐标为（m，﹣m2+4m﹣8），设BM=BN=a，则AB= a，故此可得到点M的坐标为（m+a， 3 a﹣m2+4m﹣8），然后将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到等边三角形的边长，从而可求得△AMN的面积是m无关的定值；
（3）首先令y=0，从而可求出抛物线与x轴的两个交点的坐标，然后确定整数m的值即可.