Question

【题目】已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB，AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F

（1）当点F在线段BD上时，如图1，线段DF，CE，CF之间的数量关系是　 　；

（2）当点F在线段DB的延长线上时，如图2．

①（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请重新写出正确的结论，并写出证明过程；

②若等边△ABC和等边△ADE的边长分别是和，DF＝3，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）CE＝DF+CF；（2）①（1）中的数量关系不成立，DF＝CE+CF，证明详见解析；②1．

【解析】

（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，结合图形得到答案；

（2）①证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，结合图形得到答案；

②根据勾股定理求出BD，根据全等三角形的性质得到CE＝BD＝2，根据勾股定理计算，得到答案．

解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AB，AE＝AD，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝90°，

∴∠FCB＝∠FBC，

∴CF＝CB，

∴CE＝BD＝DF+FB＝DF+CF，

故答案为：CE＝DF+CF；

（2）①（1）中的数量关系不成立，DF＝CE+CF，

理由如下：）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AB，AE＝AD，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝90°，

∴∠FCB＝∠FBC，

∴CF＝CB，

∴DF＝BD+BF＝CE+CF；

②在Rt△ABD中，BD＝＝＝2，

∵DF＝3，

∴BF＝1，

∵△BAD≌△CAE，

∴CE＝BD＝2，

∴BF＝FC＝FE，

∴△CBE为直角三角形，

∴BE＝＝＝1．