Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣ x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求 AM+CM它的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，

∴ ，

∴ ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；

（2）

解：设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，

∴ ，

∴ ，

∴直线AB的解析式为y=2x+4，

设E（m，2m+4），

∴G（m，﹣m2﹣2m+4），

∵四边形GEOB是平行四边形，

∴EG=OB=4，

∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，

∴m=﹣2，

∴G（﹣2，4）；

（3）

解：①如图1，

由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，

∴设E（a，2a+4），

∵直线AC：y=﹣ x﹣6，

∴F（a，﹣ a﹣6），

设H（0，p），

∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，

∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣ x﹣6，

∴AB⊥AC，

∴EF为对角线，

∴ （﹣4+0）= （a+a）， （﹣4+p）= （2a+4﹣ a﹣6），

∴a=﹣2，P=﹣1，

∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

②如图2，

由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），

∴EH= ，AE=2 ，

设AE交⊙E于G，取EG的中点P，

∴PE= ，

连接PC交⊙E于M，连接EM，

∴EM=EH= ，

∴ = ，

∵ = ，

∴ = ，∵∠PEM=∠MEA，

∴△PEM∽△MEA，

∴ ，

∴PM= AM，

∴ AM+CM的最小值=PC，

设点P（p，2p+4），

∵E（﹣2，0），

∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，

∵PE= ，

∴5（p+2）2= ，

∴p=﹣ 或p=﹣ （由于E（﹣2，0），所以舍去），

∴P（﹣ ，﹣1），

∵C（0，﹣6），

∴PC= = ，

即： AM+CM= ．

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；（3）①先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM= AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．