Question

【题目】 在学习了全等三角形和等边三角形的知识后，张老师出了如下一道题：如图，点B是线段AC上任意一点，分别以AB、BC为边在AC同一侧作等边△ABD和等边△BCE，连接CD、AE分别与BE和DB交于点N、M，连接MN．

(1)求证：△ABE≌△DBC．

接着张老师又让学生分小组进行探究：你还能得出什么结论？

精英小组探究的结论是：AM=DN．

奋斗小组探究的结论是：△EMB≌△CNB．

创新小组探究的结论是：MN∥AC．

（2）你认为哪一小组探究的结论是正确的？

（3）选择其中你认为正确的一种情形加以证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）三个小组探究的结论都正确；（3）证明见解析

【解析】试题分析：

（1）由△ABD和△BCE都是等边三角形可得：AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠EBC=60°，这样可得∠ABE=∠DBC，从而可由“SAS”证得△ABE≌△DBC；

（2）由△ABE≌△DBC可得∠EAB=∠CDB，而由已知条件易证∠DBN=∠ABD=60°，结合AB=DB可证△ABM≌△DBN，就可得AM=DN；同理可证△EBM≌△CBN；由△EBM≌△CBN可得BM=BN，结合∠DBN=60°可得△BMN是等边三角形，从而可得∠MNB=60°=∠EBC，由此可得MN∥AC；故三个小组的探究结论都是正确的；

（3）根据（2）中的分析选择第一个结论证明即可；

试题解析：

（1∵△ABD和△BCE都是等边三角形，

∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠ABE=∠DBC=120°，

∵在△ABE和△DBC中，AB=DB，∠ABE=∠DBC，BE=BC，

∴△ABE≌△DBC；

（2）三个小组探究的结论都正确；

（3）选择证明：AM=DN，过程如下：

∵△ABE≌△DBC，

∴∠EAB=∠CDB，

∵∠ABD+∠DBE+∠EBC=180°，∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠DBE=∠ABD=60°，

∵在△ABM和△DBN中，∠MAB=∠NDB，AB=DB，∠DBN=∠ABM，

∴△ABM≌△DBN，

∴AM=DN.