Question

【题目】如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上一动点，AE 的延长线交 CD 于点 F，交 BC 的延长线于点 G，M 是 FG 的中点.

(1)求证： ∠DAE=∠DCE；

(2)判断线段 CE 与 CM 的位置关系，并证明你的结论；

(3)当，并且恰好是等腰三角形时，求 DE 的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）EC⊥MC， 理由见解析；（3）DE=

【解析】（1）首先根据正方形的性质可得AD=CD,∠ADB=∠CDB=45°,再有DE是公共边,可以利用SAS判定△ADE和△CDE全等；

（2）由AD∥BG得∠DAE=∠G，由M 是 FG 的中点得MC=MG=MF，可求得∠DCE=∠MCG，由∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°可得∠ECM=∠DCE+∠FCM=90°，从而EC⊥MC；

（3）由题意可知CE=CG，由∠MCG=∠G，∠EMC=2∠G可求得∠G=30°. 过点 E 作 EH⊥AD 于 H，设 EH=x，利用勾股定理表示出AH，根据AD=AH+DH列方程求出x,进而可求出DE的长.

（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，

∴∠ADE=∠CDE，AD=CD， 在△ADE 与△CDE，

，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴∠DAE=∠DCE；

（2）EC⊥MC， 理由如下：

∵AD∥BG，

∴∠DAE=∠G，

∵M 是 FG 的中点，

∴MC=MG=MF，

∴∠G=∠MCG， 又∵∠DAE=∠DCE，

∴∠DCE=∠MCG，

∵∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°，

∴∠ECM=∠DCE+∠FCM=90°，

∴EC⊥MC；

（3）∵∠FCG=90°，

∴∠ECG 一定是钝角，

∴△CEG 若为等腰三角形必有 CE=CG，

∴∠CEM=∠G，

∵，

∴∠MCG=∠G， 又∵∠EMC=∠MCG+∠G，

∴∠EMC=2∠G，

∵∠ECM=90°，

∴∠CEM+∠EMC=90°，

∴∠G+2∠G=90°，

∴∠G=30°，

∴∠AFD=∠CFG=90°-∠G=90°-30°=60°，

∴∠DAE=90°-∠AFD=90°-60°=30°， 过点 E 作 EH⊥AD 于 H，设 EH=x，

∴∠EHA=∠EHD=90°，

∵在 Rt△EFA 中，∠DAE=30°，

∴AE=2EH=2x，

∴，

∵在 Rt△EHD 中，∠ADE=45°，

∴DH=EH=x，

∴，

∴，

∴x=1，

∴．