Question

【题目】如图，己知抛物线y=k（x+1）（x﹣3k）（且k＞0）与x轴分别交于A、B两点，A点在B点左边，与Y轴交于C点，连接BC，过A点作AE∥CB交抛物线于E点，0为坐标原点．

（1）用k表示点C的坐标（0， ）；

（2）若k=1，连接BE，

①求出点E的坐标；

②在x轴上找点P，使以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，求出P点坐标；

（3）若在直线AE上存在唯一的一点Q，连接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣3k2；（2）①（4，5）；②（，0）或（﹣，0）；（3）k=．

【解析】

试题分析：（1）只需把x=0代入抛物线的解析式，就可求出点C的坐标；

（2）①只需先求出直线AE的解析式，再求出直线AE与抛物线的交点坐标，就可解决问题；②由AE∥BC可得∠EAB=∠ABC，然后分△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况进行讨论，运用相似三角形的性质即可解决问题；

（3）由OQ⊥BQ可知点Q在以OB为直径的圆上，由于直线AE上存在唯一的一点Q，使得OQ⊥BQ，因此以OB为直径的圆与直线AE相切，切点为Q，圆心记为O′，连接O′Q，如图2，易证△AQO′∽△BOC，然后只需用k的代数式表示OC、QO′、AO′、BC，再运用相似三角形的性质就可求出k的值．

解：（1）当x=0时，y=k（0+1）（0﹣3k）=﹣3k2，

∴点C的坐标为（0，﹣3k2）．

故答案为：﹣3k2；

（2）①∵k=1，

∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3）．

当x=0时，y=﹣3，则点C（0，﹣3），OC=3；

当y=0时，x1=﹣1，x2=3，

则点A（﹣1，0），点B（3，0），OA=1，OB=3．

∵AE∥CB，∴△AOD∽△BOC，

∴=，

∴OD=1，即D（0，1）．

设直线AE的解析式为y=kx+b，

则，

解得：，

∴直线AE的解析式为y=x+1，

联立，

解得：或，

∴点E的坐标为（4，5）；

②过点E作EH⊥x轴于H，如图1，

则OH=4，BH=5，AH=5，AE==5．

∵AE∥BC，∴∠EAB=∠ABC．

Ⅰ．若△PBC∽△BAE，则=．

∵AB=4，BC==3，AE=5，

∴=，

∴BP=，

∴点P的坐标为（3﹣，0）即（，0）；

Ⅱ．若△PBC∽△EAB，则=，

∴=，

∴BP=，

∴点P的坐标为（3﹣，0）即（﹣，0）；

综上所述：满足条件的P点坐标为（，0）或（﹣，0）；

（3）∵直线AE上存在唯一的一点Q，使得OQ⊥BQ，

∴以OB为直径的圆与直线AE相切于点Q，圆心记为O′，连接O′Q，如图2，

则有O′Q⊥AE，O′Q=OO′=OB．

当x=0时，y=k（0+1）（0﹣3k）=﹣3k2，则点C（0，﹣3k2），

当y=0时，k（x+1）（x﹣3k）=0，解得x1=﹣1，x2=3k，

则点A（﹣1，0），B（3k，0），

∴OB=3k，OA=1，OC=3k2，

∴O′Q=OO′=，O′A=+1，BC==3k．

∵∠QAO′=∠OBC，∠AQO′=∠BOC=90°，

∴△AQO′∽△BOC，

∴=，

∴QO′BC=AO′OC，

∴3k=（+1）3k2，

解得：k=．