Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

延长F至G，使CG＝AE，连接DG，由SAS证明△ADE≌△CDG，得出DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，再证明△EDF≌△GDF，得出EF＝GF，设AE＝CG＝x，则EF＝GF＝3+x，在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程得出AE＝2，在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE即可．

解：延长F至G，使CG＝AE，连接DG、EF，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB＝BC＝CD＝6，∠A＝∠B＝∠DCF＝∠ADC＝90°，

∴∠DCG＝90°，

在△ADE和△CDG中，，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，

∴∠EDG＝∠CDE+∠CDG＝∠CDE+∠ADE＝90°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠GDF＝45°，

在△EDF和△GDF中，，

∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴EF＝GF，

∵F是BC的中点，

∴BF＝CF＝3，

设AE＝CG＝x，则EF＝GF＝3+x，

在Rt△BEF中，由勾股定理得：32+（6﹣x）2＝（3+x）2，

解得：x＝2，即AE＝2，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝；

故选：B．