Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）求证：△ACM∽△DCN；

（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BN=．

【解析】试题分析：(1)、根据BO=CO得出∠B=∠BCO，根据∠2+∠B=90°，∠1=∠2得出∠1+∠BCO=90°，从而得到切线；(2)、根据AB为直径得到∠ACB=∠FCO=90°，从而得出∠3=∠1，即∠3=∠2，结合∠4=∠D得出三角形相似；(3)、根据题意得出BE和AE的长度，然后根据勾股定理得出CE、AC和BC的长度，最后根据△ACM∽△DCN得出CN的长度，从而根据BN=BC-CN得出答案.

试题解析：(1)、∵△BCO中，BO=CO， ∴∠B=∠BCO，

在△BCE中，∠2+∠B=90°， 又∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BCO=90°， 即∠FCO=90°，

∴CF是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=∠FCO=90°， ∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO，

即∠3=∠1， ∴∠3=∠2，∵∠4=∠D， ∴△ACM∽△DCN；

（3）∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4， 在△COE中，∠BOC=，

∴OE=CO∠BOC=4×=1，

由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE===，

AC===2， BC===2，

∵AB是⊙O直径，AB⊥CD， ∴由垂径定理得：CD=2CE=2，

∵△ACM∽△DCN， ∴=， ∵点M是CO的中点，CM=AO=×4=2，

∴CN===， ∴BN=BC﹣CN=2﹣=．