Question

【题目】将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边AC与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边AC恰好重合．已知AB=2，P是AC上的一个动点．

（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；

（2）当点PD=BC时，求此时∠PDA的度数；

（3）当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点构成平行四边形的顶点Q恰好在BC边上，求出此时DPBQ的面积．

Answer 1

【答案】（1）．（2）15°或75°；（3）．

【解析】

试题分析：（1）作DF⊥AC于F，由AB的长求得BC、AC的长．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的长．则由勾股定理即可求得DP的长．

（2）由（1）得BC与DF的关系，则DP与DF的关系也已知，先求得∠PDF的度数，则∠PDA的度数也可求出，需注意有两种情况．

（3）由于四边形DPBQ为平行四边形，则BC∥DF，P为AC中点，作出平行四边形，求得面积．

解：在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，

∴BC=，AC=3．

（1）如图（1），作DF⊥AC于F．

∵Rt△ACD中，AD=CD，

∴DF=AF=CF=．

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC=30°，

∴CP=BCtan30°=1，

∴PF=，

∴DP==．

（2）当P点位置如图（2）所示时，

根据（1）中结论，DF=，∠ADF=45°，

又∵PD=BC=，

∴cos∠PDF==，

∴∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF﹣∠PDF=15°．

当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．

故∠PDA的度数为15°或75°；

（3）当点P运动到边AC中点（如图4），即CP=时，

以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．

∵四边形DPBQ为平行四边形，

∴BC∥DP，

∵∠ACB=90°，

∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．

而在Rt△ABC中，AB=2，BC=，

∴根据勾股定理得：AC=3，

∵△DAC为等腰直角三角形，

∴DP=CP=AC=，

∵BC∥DP，

∴CP是平行四边形DPBQ的高，

∴S平行四边形DPBQ=DPCP=．