Question

【题目】已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．

（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的对角线长为4，求两个正方形重叠部分的面积为 ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O

∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，

∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于点E，A'D'交CD于点F．

∴∠EOF=90°

∵∠BOE=∠EOF﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∠COF=∠BOC﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∴∠BOE=∠COF．

在△OBE和△OCF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA）．

∴OE=OF

（2）2
【解析】（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴S△BOE=S△COF
∴S△EOC+S△COF=S△EOC+S△BOE ，
即S四边形OECF=S△BOC ．
∵S△BOC=2，
∴两个正方形重叠部分的面积为2．
所以答案是：2．
【考点精析】本题主要考查了正方形的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．