Question

【题目】如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O，连接AD，BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BD垂直平分AC，

∴OA=OC，AD=CD，AB=BC，

∵四边形AFCG是矩形，

∴CG∥AF，

∴∠CDO=∠ABO，∠DCO=∠BAO，

∴△COD≌△AOB，

∴CD=AB，

∴AB=BC=CD=DA，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）证明：∵E为AB中点，DE⊥AB，

∴DE垂直平分AB，

∴AD=DB，

∵AD=AB，

∴△ADB为等边三角形，

∴∠DBA=60°，

∵CD∥AB，

∴∠BDC=∠DBA=60°．

【解析】（1）只要证明AB=BC=CD=DA即可；（2）只要证明△ADB是等边三角形即可解决问题；
【考点精析】利用线段垂直平分线的性质和矩形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．