Question

【题目】如图1，二次函数y= x2+bx+c与一次函数y= x﹣3的图象都经过x轴上点A（4，0）和y轴上点B（0，﹣3），过动点M（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点P．

（1）求b，c的值；
（2）点M在运动的过程中，能否使△PBC为直角三角形？如果能，求出点P的坐标；如果不能，请说明理由；
（3）如图2，过点P作PD⊥AB于点，设△PCD的面积为S1 ， △ACM的面积为2 ， 若 = ，
①求m的值；
②如图3，将线段OM绕点O顺时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接M'A、M'B，求M'A+ M'B的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意， ，

解得

（2）

解：若△PBC为直角三角形，显然∠PCB≠90°．

①当∠PBC=90°时（如图1﹣1中），作PK⊥y轴于K，则∠PBK=∠BAO=90°﹣∠ABO，

∴tan∠PBK= = ，

解得m= 或0（舍弃），

∴P（ ，﹣ ），

②当∠BPC=90°时（如图1﹣2中），BP∥x轴，

当y=﹣3时， m2﹣ m﹣3=﹣3，解得m=3或0（舍弃），

∴P（3，﹣3），

综上所述，满足条件的点P坐标（ ，﹣ ）或（3，﹣3）

（3）

解：①如图2中，

∵PD⊥AB，PM⊥OA，

∴∠PDC=∠AMC，

∵∠PCD=∠ACM，

∴△PCD∽△ACM，

∴ =（ ）2= ，

∴ = ，

∵CM∥OB，

∴ = ，

∴AC= （4﹣m），

∵抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣3，

∴PC= m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+3m，

∴ = ，

解得m=2或4（舍弃），

∴m=2．

②如图3中，在y轴上取一点E，使得OE= ，连接M′E，AE．

∵OM′=2，OEOB= ×3=4，

∴OM2=OEOB，

∴ = ，

∵∠M′OE=∠BOM′，

∴△M′OE∽△BOM′，

∴ = = ，

∴M′E= BM′，

∴AM′+ BM′=AM′+M′E，

∴当A、M′、E共线时，AM′+ BM′的值有最小值=AE= =

【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）分两种情形讨论即可．①当∠PBC=90°时（如图1﹣1中），作PK⊥y轴于K．②当∠BPC=90°时（如图1﹣2中），BP∥x轴．分别列出方程即可解决问题．（3）①由△PCD∽△ACM，可得 =（ ）2= ，推出 = ，由CM∥OB，推出 = ，推出AC= （4﹣m），由抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣3，可得PC= m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+3m，列出方程，即可解决问题．②如图3中，在y轴上取一点E，使得OE= ，连接M′E，AE．由OM′=2，OEOB= ×3=4，推出OM2=OEOB，推出 = ，由∠M′OE=∠BOM′，可知△M′OE∽△BOM′，推出 = = ，推出M′E= BM′，所以AM′+ BM′=AM′+M′E，所以当A、M′、E共线时，AM′+ BM′的值有最小值．
【考点精析】掌握二次函数的性质和相似三角形的应用是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．