Question

【题目】如图，在直角坐标系中，直线AB与x、y轴分别交于点A（4，0）、B（0， ）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D，点C为直线AB上一点以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．
（1）求证：y轴是⊙G的切线．
（2）求出⊙G的半径；
（3）连结EC，求△ACE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接GD，如图1，

∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，

∴∠GAD=∠DAO，

∵GD=GA，

∴∠GDA=∠GAD，

∴∠GDA=∠DAO，

∴GD∥OA，

∴∠BDG=∠BOA=90°，

∵GD为半径，

∴y轴是⊙G的切线

（2）解：∵A（4，0），B（0， ），

∴OA=4，OB= ，

在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB= ，

设半径GD=r，则BG= ﹣r，

∵GD∥OA，

∴△BDG∽△BOA，

∴ ，

r=4（ ﹣r），

∴r=2.5

（3）解：连接CE，如图2，

∵AC是圆的直径，

∴∠AEC=∠BOE=90°，

∴CE∥OB，

∴△ACE∽△ABO，

∴ ，

设OE=a，则AE=4﹣a，

∴CE= （4﹣a），

∵CE2+AE2=AC2，

∴ （4﹣a）2+（4﹣a）2=25，

∴a=1或a=7（不合题意，舍去）

∴AE=3，由勾股定理可得CE=4，

∴△ACE的面积= AECE= ×3×4=6．

【解析】（1）连接DG，要证明y轴是⊙G的切线，只需要连接GD后证明GD⊥OB即可．（2）由（1）可知GD∥OA，则△BDG∽△BOA，设半径为r后，利用对应边的比相等列方程即可求出半径r的值．（3）连接CE，设OE=a，则AE=4﹣a，易证△ACE∽△ABO，由相似三角形的性质可得到CE和OE数量关系，再利用勾股定理可求出a的值，进而可求出数△ACE的面积．