Question

【题目】如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，

（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；
（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由x=0得y=0+4=4，则点C的坐标为（0，4）；

由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；

把点C（0，4）代入y=x2+kx+k﹣1，得k﹣1=4，

解得：k=5，

∴此抛物线的解析式为y=x2+5x+4，

∴此抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ ．

令y=0得x2+5x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=﹣4，

∴点B的坐标为（﹣1，0）

（2）

解：∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴OA=OC=4，

∴∠OCA=∠OAC．

∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，

∴AC= =4 ，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．

∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．

又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．

∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，

∴ = ，即 = ，

解得：CD= ，

∴OD=CD﹣CO= ﹣4= ，

∴点D的坐标为（0，﹣ ）．

【解析】（1）先求出A、C两点的坐标，再代入抛物线的解析式，就可求出该抛物线的解析式，然后根据抛物线的对称轴方程x=﹣ 求出抛物线的对称轴，根据抛物线上点的坐标特征求出点B的坐标；（2）易得∠OAC=∠OCA，∠ABC＞∠ADC，由此根据条件即可得到△CAD∽△ABC，然后运用相似三角形的性质可求出CD的长，由此可得到OD的长，就可解决问题．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．