Question

【题目】如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设AD=x，y=cot∠CFE，
（1）求证：△DEK∽△DFB；
（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结CD，当 = 时，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

由折叠可得：∠EDF=∠C=90°，∠DFE=∠CFE．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，

∴∠A=∠B=45°．

∵DK⊥AB，

∴∠ADK=∠BDK=90°，

∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°，

∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB，

∴△DEK∽△DFB；

（2）解：∵∠A=∠AKD=45°，

∴DK=DA=x．

∵AB=2，

∴DB=2﹣x．

∵△DFB∽△DEK，

∴ = ，

∴y=cot∠CFE=cot∠DFE= = = ．

当点F在点B处时，

DB=BC=ABsinA=2× = ，AD=AB﹣AD=2﹣ ；

当点E在点A处时，

AD=AC=ABcosA=2× = ；

∴该函数的解析式为y= ，定义域为2﹣ ＜x＜

（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，

∵∠ECF=∠EDF=90°，

∴OC=OD= EF．

设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH= CD．

∵ = ，∴sin∠HOC= = ，

∴∠HOC=60°

① 若点K在线段AC上，如图2，

∵CO= EF=OF，

∴∠OCF=∠OFC= ∠HOC=30°，

∴y=cot30°= ，

∴ = ，

解得：x= ﹣1；

②若点K在线段AC的延长线上，如图3，

∵OC=OF，∠FOC=60°，

∴△OFC是等边三角形，

∴∠OFC=60°，

∴y=cot60°= ，

∴ = ，

解得：x=3﹣ ；

综上所述：x的值为 ﹣1或3﹣

【解析】（1）要证△DEK∽△DFB，只需证到∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可；（2）易得DK=DA=x，DB=2﹣x，由△DFB∽△DEK可得到 = ，从而可得y=cot∠CFE=cot∠DFE= = = ；然后只需先求出在两个临界位置（点F在点B处、点E在点A处）下的x值，就可得到该函数的定义域；（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=OD= EF．设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH= CD．由 = 可得tan∠HOC= = ，从而得到∠HOC=60°．①若点K在线段AC上，如图2，由∠HOC=60°可求得∠OFC=30°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值；②若点K在线段AC的延长线上，如图3，由∠HOC=60°可求得∠OFC=60°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值．