Question

【题目】已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点D是AB中点，AC=BC，

∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，

∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°，

又∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE=CG，

（2）解：BE=CM．

∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC，

又∵∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中，

，

∴△BCE≌△CAM（AAS），

∴BE=CM．

【解析】要证两线段相等，基本方法就是证它们所在的三角形全等，即△AEC≌△CGB，可寻找条件，根据∠CAE=∠BCGAC=BC，∠ACE=∠CBG，可得全等；（2）可观察图形，由（1）得∠CMA=∠BEC，寻找两个角所在的三角形，即△BCE、△CAM，证出它们全等即可.