Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线。

(1)以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O;

(2)求证：BC为⊙O的切线；

(3)如果AC=3,tanB=,求⊙O的半径。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：

（1）由题意可知，作线段AD的垂直平分线与AB相交，交点即为圆心O，然后以O为圆心OA为半径作圆即可；

（2）连接OD，由已知易证∠ODA=∠OAD=∠CAD，从而可得OD∥AC，由此可得∠ODB=∠C=90°，结合OD是⊙O的半径即可得到BC和⊙O相切；

（3）由已知条件易得BC=4和AB=5的长度，设⊙O的半径为r，则OD=OA=r，OB=5-r；由OD∥AC可得△BDO∽△BCA，这样由相似三角形对应边成比例即可列出关于r的方程，解方程即可求得r的值.

试题解析：

（1）如图所示，⊙O为所求圆；

（2）连接OD.

∵AD平分∠CAB

∴∠CAD=∠BAD

又∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴OD∥AC

∴∠ODB=∠C=90°

又∵OD为半径

∴BC是⊙O的切线.

（3）∵在△ABC中，AC=3，tanB=，∠C=90°，

∴BC=4，AB=5，

设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，BO=5－r

∵OD∥AC

∴△BOD∽△BAC

∴

即

解得， ，

∴⊙O的半径为 .