Question

【题目】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F.

(1)如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF.

(2)如图②，若BD＝CE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明．

(3)如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么(2)中结论还成立吗？试证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DF＝EF.（3）成立，证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）在题图①中作EG∥AB交BC于点G，利用平行线的性质和等腰三角形的性质可证得：EG=EC；再证△BFD≌△GFE即可；

（2）在题图②中作EG∥AB交BC于点G，则∠D＝∠FEG.同(1)可得EG＝EC；

再证△BFD∽△GFE，利用相似三角形的性质即可证得：DF＝EF.

（3）在题图③中作EG∥AB交CB的延长线于点G，同（2）证：EG＝EC，△BFD∽△GFE，再利用相似三角形的性质可得：DF＝EF，即（2）中的结论任然成立

试题解析：

(1)在题图①中作EG∥AB交BC于点G，

则∠ABC＝∠EGC，∠D＝∠FEG.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.

∴∠EGC＝∠C.∴EG＝EC.

∵BD＝CE，∴BD＝EG.

∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠GFE，

∴△BFD≌△GFE.

∴DF＝EF.

(2)解：DF＝EF.

在题图②中作EG∥AB交BC于点G，则∠D＝∠FEG.由(1)得EG＝EC.

∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠EFG，

∴△BFD∽△GFE.

∴.

∵BD＝CE＝EG，

∴DF＝EF.

(3)成立．

在题图③中作EG∥AB交CB的延长线于点G，

则仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE.

∴，

∵BD＝CE＝EG，

∴DF＝EF.