Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF⊥AB；
（2）若∠C=30°，EF= ，求EB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AD、OD

，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

又∵AB=AC，

∴CD=DB，又CO=AO，

∴OD∥AB，

∵FD是⊙O的切线，

∴OD⊥EF，

∴FE⊥AB

（2）解：∵∠C=30°，

∴∠AOD=60°，

∴∠F=30°，

∴OA=OD= OF，

∵∠AEF=90°EF= ，

∴AE= ，

∵OD∥AB，OA=OC=AF，

∴OD=2AE=2 ，AB=2OD=4 ，

∴EB=3

【解析】（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质证明D是BC的中点，得到OD是△ABC的中位线，根据切线的性质证明结论；（2）根据三角形的内角和得到∠AOD=60°，∠F=30°，根据直角三角形的性质得到OA=OD= OF，求得AE= 根据平行线等分线段定理得到OD=2AE=2 ，AB=2OD=4 ，由线段的和差即可得到结论．