Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

（1）求证：AC∥DE；
（2）若OA=AE=4，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵OD过圆心，F为AC中点，

∴OD⊥AC，

∵ED切⊙O于D，

∴OD⊥ED，

∴AC∥DE

（2）解：∵OD=OA=4，OE=OA+AE=8，

∴OD= OE，

∵在Rt△ODE中，OD= OE，

∴∠E=30°，

∵AC∥DE，

∴∠CAB=∠E=30°，

∴在Rt△OAF中，OF= AO=2，AF= OF=2 ，

∵F为AC中点，

∴AC=2AF=4

【解析】（1）由点F为弦AC的中点，ED切⊙O于D，可得OD⊥AC，OD⊥DE，继而证得结论；（2）由OA=AE=4，易得∠E=30°，又由AC∥DE，利用三角函数的知识即可求得OF，AF的长，继而求得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．