Question

【题目】我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“果圆”．如图，A，B，C，D是“果圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，8），且AB=6，点P是以AB为直径的半圆的圆心，P的坐标为（1，0），连接DB，AD，动点E，F分别从A，O两点出发，以相同的速度沿x轴正方向运动，当F到达B点时两点同时停止，过点F作FG∥BD交AD于点G．

（1）求“果圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）在“果圆”上是否存在一点H，使得△DBH为直角三角形？若存在，求出H点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设M，N分别是GE，GF的中点，求在整个运动过程中，MN所扫过的图形面积．

Answer 1

【答案】(1) 抛物线解析式为y=﹣x2+2x+8．(2) 满足条件的点H的坐标为（，）或（﹣，﹣）或（，5+2）或（﹣，5﹣2）．(3) ．

【解析】

试题分析：（1）由题意可设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把点D（0，8）代入即可求出a，解决问题．（2）分三种情形讨论①D是直角顶点．②B是直角顶点．③H是直角顶点．分别求出点H坐标即可．（3）根据MN所扫过的图形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式计算即可．

试题解析：（1）由题意，D（0，8），A（﹣2，0），B（4，0），

设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把点D（0，8）代入得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+8．

（2）如图1中，

①当D为直角顶点时，

∵直线BD解析式为y=﹣2x+8，

∵DH1⊥BD，

∴直线DH1的解析式为y=x+8，

由，解得或，

∴点H1坐标为（，）．

②当B为直角顶点时，直线BH2解析式为y=x﹣2，设H2（m， m﹣2），

由题意PH2=3，

∴（m﹣1）2+（m﹣2）2=9，

整理得到5m2﹣16m﹣16=0，

解得m=﹣或4，

∴点H2坐标为（﹣，﹣）．

③当H为直角顶点时，设H（m，﹣m2+2m+8），BD的中点K（2，4）

由题意HK=BD=2，

∴（m﹣2）2+（﹣m2+2m+4）2=20，

∴m（m﹣4）（m2﹣3）=0，

∴m=0或4或，

∴H3（，5+2），H4的坐标为（﹣，5﹣2）．

综上所述，满足条件的点H的坐标为（，）或（﹣，﹣）或（，5+2）或（﹣，5﹣2）．

（3）如图3中，设M1N1是起始位置，M2N2S 终止位置．

∵M1N1∥AB，M2N2∥AB，

M1N1=E1F1=1，M2N2=E2F2=1，

∴M1N1∥M2N2，M1N1=M2N2，

∴四边形M1N1N2M2是平行四边形，作N1G⊥AB于J，N2H⊥AB于H．

∵DN2=BN2，HN2∥OD，

∴OH=BH，

∴HN2=DO=4，

∵∠N1OJ=∠N2BH，∠N1JO=∠N2HB，

∴△N1JO∽△N2HB，

∴，

∴N1J=，

∴MN所扫过的图形面积就是平行四边形M1N1N2M2的面积=1×（4﹣）=．