【题目】某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚圆柱形小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图1是2007年10月份日历

（1）用长方形和正方形分别圈出相邻的3个数和9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这3个数的和与9个数的和，结果分别为　 　，　 　．

（2）用某种图形圈出相邻的5个数，使这5个数的和能表示成5a的形式，请在图2中画出一个这样的图形．

（3）用平行四边形圈出相邻的四个数，是否存在这样的4个数使得a+b+c+d＝114？如果存在就求出来，不存在说明理由．

（4）第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，能否使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下，试通过计算证明你的判断．

参考答案：

【答案】（1）3a，9a；（2）见解析；（3）不存在，理由见解析；（4）不能，证明见解析

【解析】

（1）根据日历的特点可列出关于a的方程，求解即可；

（2）根据上下左右的数量关系，画图即可；

（3）举例拆分即可．

（4）根据数字的奇偶性规律验证．

（1）长方形中中间数为a，上下两数分别为（a﹣7）；（a+7）

∴3个数的和为a+（a﹣7）+（a+7）＝3a

正方形中中间数为a，那么左右两数分别为（a﹣1）；（a+1）

根据以上规律左边三个数的和为3（a﹣1）；中间三个数的和为3a；右边三个数的和为3（a+1）

∴9个数的和为3（a﹣1）+3a+3（a+1）＝9a

故答案为：3a，9a．

（2）如图所示即可

（3）不存在，

根据图形的规律得，b=a+1,c=a+6,d=a+7，

∵a+b+c+d＝114，

∴a+a+1+a+6+a+7=114,

a=25,

∴d=a+25=32，

∴不存在这样的4个数使得a+b+c+d＝114.

（4）不能，

共翻动了（次），

而要使一个铁皮翻面，需要奇数次，

所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下需要31 奇数次，

∵496不是奇数，

∴第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，不能使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下.

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