Question

【题目】如图，直线l：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°．

（1）求△AOB的周长；

（2）设AQ=t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；

（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m，若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：

①6a+3b+2c=0；

②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值．

Answer 1

【答案】（1）△AOB周长为2+．（2）P（﹣，1+）．（3）a的值为或﹣2﹣2．

【解析】

试题分析：（1）先求出A、B坐标，再求出OB、OA、AB即可解决问题．（2）由△PBO∽△OAQ，得=，求出PB，再根据等腰直角三角形性质可以求得点P坐标．（3）先求出m的值，分①a＞0，②a＜0，两种情形，利用二次函数性质分别求解即可．

试题解析：（1）在函数y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，

∴B（0，1），

令y=0，得x=1，

∴A（1，0），

则OA=OB=1，AB=，

∴△AOB周长为1+1+=2+．

（2）∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∴∠PBO=∠QAO=135°，

设∠POB=x，则∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x，

∴△PBO∽△OAQ，

∴=，

∴PB==，

过点P作PH⊥OB于H点，

则△PHB为等腰直角三角形，

∵PB=，

∴PH=HB=，

∴P（﹣，1+）．

（3）由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，

∴PB=AQ，

∴=t，

∵t＞0，

∴t=1，

同理可得Q（1+，﹣），

∴m==﹣1，

∵抛物线经过点A，

∴a+b+c=0，

又∵6a+3b+2c=0，

∴b=﹣4a，c=3a，

对称轴x=2，取值范围﹣1≤x+1，

①若a＞0，则开口向上，

由题意x=﹣1时取得最大值=2+2，

即（﹣1）2a+（﹣1）b+c=2+2，

解得a=．

②若a＜0，则开口向下，

由题意x=2时取得最大值2+2，

即4a+2b+c=2+2，

解得a=﹣2﹣2．

综上所述所求a的值为或﹣2﹣2．