Question

【题目】（8分）【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；

【拓展延伸】（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）中的结论是否成立？请作出判断，不需要证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）仍然成立．

【解析】整体分析：

（1）延长AE、BC交于点N，由△ADE≌△NCE，证AD=NC，由角平分线，平行线得MA=MN；（2）与（1）的方法类似.

（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ENC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．

∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．

∴△ADE≌△NCE（AAS）

∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．

（2）①结论AM=AD+MC仍然成立．

证明：延长AE、BC交于点P，如图2，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠EPC．

∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．

∴∠EPC=∠MAE．∴MA=MP．

∴△ADE≌△PCE（AAS）．

∴AD=PC．∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．