Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F，则OE=OF．

（1）请证明0E=OF

（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，AG交 EB的延长线于 G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则仍有OE=OF．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当点E在AC的延长线上时，OE=OF仍成立.

【解析】试题分析:(1)根据正方形对角线的性质可得AC⊥BD,∠OAF+∠AFO=90°,

因为AG⊥BE,所以∠EBO+∠BFG=90°,因为∠BFG=∠AFO,所以∠OAF=∠EBO,

因为∠AOF=∠BOE,AO=BO,所以△AOF≌△BOE,所以OE=OF,

（2）根据正方形对角线的性质,可得:AC⊥BD,即可求出∠OAF+∠AFO=90°,

因为AG⊥BE,所以∠BEO+∠EAG=90°,所以∠AFO=∠BEO,因为∠AOF=∠BOE,AO=BO,

所以△AOF≌△BOE,所以OE=OF.

试题解析:（1）证明:∵正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O,

∴AC⊥BD,

∴∠OAF+∠AFO=90°,

∵AG⊥BE,

∴∠EBO+∠BFG=90°,

∵∠BFG=∠AFO,

∴∠OAF=∠EBO,

∵∠AOF=∠BOE,AO=BO,

∴△AOF≌△BOE,

∴OE=OF,

（2）解:当点E在AC的延长线上时,OE=OF仍成立,

证明:∵正方形ABCD中对角线AC,BD相交于O,

∴AC⊥BD,

∴∠OAF+∠AFO=90°,

∵AG⊥BE,

∴∠BEO+∠EAG=90°,

∴∠AFO=∠BEO,

∵∠AOF=∠BOE,AO=BO,

∴△AOF≌△BOE,

∴OE=OF.