Question

【题目】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，因此正方形是四边相等，四角相等的四边形．
初二数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．

（1）求证：DP=DQ
（2）如图②，小聪在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；

（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小聪算出△DEP的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠ADC=∠PDQ=90°，

∴∠ADP=∠CDQ．

在△ADP与△CDQ中，

∴△ADP≌△CDQ（ASA），

∴DP=DQ

（2）

证明：猜测：PE=QE．

证明：由（1）可知，DP=DQ．

在△DEP与△DEQ中，

∴△DEP≌△DEQ（SAS），

∴PE=QE

（3）

解：∵AB：AP=3：4，AB=6，

∴AP=8，BP=2．

与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，

∴CQ=AP=8．

与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，

∴PE=QE．

设QE=PE=x，则BE=BC+CQ﹣QE=14﹣x．

在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2=PE2，

即：22+（14﹣x）2=x2，

解得：x= ，即QE= ．

∴S△DEQ= QECD= × ×6= ．

∵△DEP≌△DEQ，

∴S△DEP=S△DEQ=

【解析】（1）证明△ADP≌△CDQ，即可得到结论：DP=DQ；（2）证明△DEP≌△DEQ，即可得到结论：PE=QE；（3）与（1）（2）同理，可以分别证明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的长度，从而可求得S△DEQ= ，而△DEP≌△DEQ，所以S△DEP=S△DEQ ．
【考点精析】掌握全等三角形的性质是解答本题的根本，需要知道全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等．