Question

【题目】已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作。

（1）若a=1，b=3，按上述规则操作3次，扩充所得的数是__________；

（2）若p>q>0，经过3次操作后扩充所得的数为（m，n为正整数），则m，n的值分别为__________.

Answer 1

【答案】（1）255；（2）3，2

【解析】（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c1=7；第二次c2=31；第三次c3=255；

（2）p>q>0，第一次得：c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)1；第二次得c2=(c1+1)(p+1)1= (p+1)2(q+1)1；所得新数大于任意旧数，第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)1=(p+1)3(q+1)21；故可得结论．

解： (1)a=1，b=3，按规则操作三次，

第一次：c1=ab+a+b=1×3+1+3=7；

第二次，7>3>1所以有：c2=3×7+3+7=31；

第三次：31>7>3所以有：c3=7×31+7+31=255；

(2)p>q>0，第一次得：c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)1；

因为c>p>q,所以第二次得：c2=(c1+1)(p+1)1=(pq+p+q)p+p+(pq+p+q)=(p+1)2(q+1)1；

所得新数大于任意旧数,所以第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)1=(p+1)3(q+1)21

∴m=3，n=2，