Question

【题目】如图所示，在△ABC中，，D、E分别是边AB、BC上的动点，且，连结AD、AE，点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点，设．

（1）观察猜想

①在求的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令，解题思路如下：

如图1，先由，得到，再由中位线的性质得到，

，进而得出△PMN为等边三角形，∴．

②如图2，当，仿照小明的思路求的值；

（2）探究证明

如图3，试猜想的值是否与的度数有关，若有关，请用含的式子表示出，若无关，请说明理由；

（3）拓展应用

如图4，，点D、E分别是射线AB、CB上的动点，且，点M、N、P分别是线段CD、AE、AC的中点，当时，请直接写出MN的长．

Answer 1

【答案】（1）②；（2）的值与的度数有关，；（3）MN的长为或．

【解析】

（1）②先根据线段的和差求出，再根据中位线定理、平行线的性质得出，从而可得出，然后根据等腰直角三角形的性质即可得；

（2）参照题（1）的方法，得出为等腰三角形和的度数，再利用等腰三角形的性质即可求出答案；

（3）分两种情况：当点D、E分别是边AB、CB上的动点时和当点D、E分别是边AB、CB的延长线上的动点时，如图（见解析），先利用等腰三角形的性质与判定得出，再根据相似三角形的判定与性质得出BC、CE的长，由根据等腰三角形的三线合一性得出，从而可得的值，最后分别利用（2）的结论即可得MN的长．

（1）②

∴

∴为等腰直角三角形，

∵点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点

∴

∴为等腰直角三角形，

∴

即；

（2）的值与的度数有关，求解过程如下：

由（1）可知，，即为等腰三角形

如图5，作

则

在中，，即

则；

（3）依题意，分以下两种情况：

①当点D、E分别是边AB、CB上的动点时

如图6，作的角平分线交AB边于点F，并连结BP

，

，即

设，则

解得或（不符题意，舍去）

即

由（2）可知，

点P是AC上的中点

，（等腰三角形的三线合一）

在中，，即

②如图7，当点D、E分别是边AB、CB的延长线上的动点时

同理可得：

综上，MN的长为或．