Question

【题目】如图， 为的直径， 为弦的中点，连接并延长交于点，过点作∥，交的延长线于点，连接， ．

(1)求证： 是⊙的切线；

(2)若时，

①求图中阴影部分的面积；

②以为原点， 所在的直线为轴，直径的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段上求一点，使得直线把阴影部分的面积分成的两部分．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) ① ②或

【解析】试题分析：(1)、连接OC，根据等腰三角形的三线合一定理得出OD⊥AC，根据平行线的性质得出OD⊥DE，从而得出切线；(2)、首先得出△AOD为等边三角形，然后根据题意得出△ACD和△OCD的面积相等，从而得出阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后根据扇形的面积计算法则得出答案；(3)、根据题意得出直线AC的解析式，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N，设设根据面积分成1:2两部分得出△APD的面积等于阴影部分面积的或列出方程，求出x的值，得出点P的坐标.

试题解析：(1)、连结 ∵ 为的中点 ∴又∵

∴ ∴是⊙O的切线

(2)、①由（1）得∴ ∴ ∴

∴ ∴是等边三角形 ∴

∴又∵ ∴

∴ ∴

∴ ∴ ∵

∴ ∴

②由已知得： ∴直线的表达式为

过点P分别作轴， 垂足分别为, , 由①得平分

∴ 设

∵直线把阴影部分的面积分成的两部分

若 即

解得： ，此时

若同理可求得

综上所述：满足条件的点P的坐标为和